Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $2$ est la matrice carrée $2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{2}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (8 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Développez $(8 - λ) (2 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 8 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.2.1.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$p (λ) = 16 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Étape 5.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Étape 5.2.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Étape 5.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot - 3$

Étape 5.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot - 3$

Étape 5.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Étape 5.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Étape 5.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Étape 5.2.1.2.2

Soustrayez $2 λ$ de $- 8 λ$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} + 9$

Étape 5.2.2

Additionnez $16$ et $9$ .

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 25$

Étape 5.2.3

Remettez dans l’ordre $- 10 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 25$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{2} - 10 λ + 25 = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$λ^{2} - 10 λ + 5^{2} = 0$

Étape 7.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 λ = 2 \cdot λ \cdot 5$

Étape 7.1.3

Réécrivez le polynôme.

$λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Étape 7.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = λ$ et $b = 5$ .

${(λ - 5)}^{2} = 0$

Étape 7.2

Définissez le $λ - 5$ égal à $0$ .

$λ - 5 = 0$

Étape 7.3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 5$